Книга "Задачи и упражнения по основам общей алгебры" под авторством Крылова П.А. представляет собой ценный ресурс для студентов математических специальностей, аспирантов и преподавателей, изучающих и преподающих общую алгебру. Она существенно дополняет теоретический материал учебников, позволяя читателю углубить понимание основных понятий и развить навыки решения задач. Книга охватывает широкий спектр тем, составляющих основу общей алгебры. В ней представлены задачи и упражнения по теории множеств, теории групп, теории колец, теории полей, теории модулей и теории Галуа. Каждая глава начинается с краткого обзора основных определений и теорем, необходимых для решения представленных задач. Затем следует набор задач различной степени сложности, начиная с простых упражнений на закрепление основных понятий и заканчивая более сложными задачами, требующими творческого подхода и глубокого понимания материала. Особенностью книги является ее ориентированность на практическое применение теории. Многие задачи иллюстрируют важные результаты и методы общей алгебры, а также демонстрируют связь между различными разделами алгебры. К ряду задач даны подробные решения и указания, что делает книгу полезной для самостоятельного изучения. В книге также содержатся задачи, которые могут быть использованы для проведения семинарских занятий и контрольных работ. Раздел, посвященный теории множеств, включает задачи на операции над множествами, отношения, отображения, счетность и несчетность множеств. Рассматриваются различные типы отношений (эквивалентности, порядка) и их свойства. Раздел теории групп охватывает широкий круг вопросов, от основных определений и примеров групп до более продвинутых тем, таких как теоремы Силова, строение конечнопорожденных абелевых групп и теория представлений групп. Представлены задачи на вычисление порядков элементов, построение подгрупп и факторгрупп, изучение гомоморфизмов и изоморфизмов групп. В разделе теории колец рассматриваются различные типы колец (коммутативные, некоммутативные, целостные, факториальные), идеалы и факторкольца, а также теоремы о гомоморфизмах колец. Представлены задачи на построение колец многочленов, изучение свойств делимости в кольцах и нахождение неприводимых многочленов. Раздел теории полей включает задачи на расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы, конечные поля и теорию Галуа. Особое внимание уделяется построению конечных полей и изучению их свойств. Рассматриваются задачи на нахождение минимальных многочленов алгебраических элементов, построение расширений Галуа и вычисление групп Галуа. В разделе теории модулей рассматриваются различные типы модулей над кольцами, подмодули, фактормодули, гомоморфизмы модулей и прямые суммы модулей. Представлены задачи на изучение свойств свободных модулей, проективных модулей и инъективных модулей. Теория Галуа, являющаяся одним из центральных разделов общей алгебры, представлена в книге достаточно подробно. Рассматриваются задачи на построение расширений Галуа, вычисление групп Галуа и установление соответствия Галуа между подгруппами группы Галуа и промежуточными полями. Приводятся примеры решения уравнений в радикалах. Книга "Задачи и упражнения по основам общей алгебры" Крылова П.А. является незаменимым помощником для тех, кто хочет углубить свои знания в области общей алгебры и научиться решать задачи различной степени сложности. Она будет полезна как студентам и аспирантам, так и преподавателям, использующим ее в качестве дополнительного материала для проведения занятий. На сайте есть и другие пдф книги с учебниками, которые можно читать и скачать бесплатно.