Книга «Алгебраическая геометрия и теория чисел - рациональные и эллиптические кривые» авторов В.В. Острика и М.А. Цфасмана представляет собой углубленное введение в захватывающую область математики, объединяющую алгебраическую геометрию и теорию чисел. Она посвящена изучению рациональных и эллиптических кривых, фундаментальных объектов, которые лежат в основе многих современных исследований в этих областях. Книга начинается с обзора необходимых предварительных знаний из алгебры, геометрии и теории чисел, делая ее доступной для студентов старших курсов математических факультетов и аспирантов. Авторы тщательно объясняют базовые понятия алгебраической геометрии, такие как аффинные и проективные пространства, алгебраические многообразия, морфизмы и размерность. Особое внимание уделяется кривым, как одному из простейших и наиболее важных классов алгебраических многообразий. Основная часть книги посвящена детальному изучению рациональных и эллиптических кривых. Рациональные кривые, как наиболее простые, служат отправной точкой для введения ключевых концепций и методов. Авторы рассматривают параметризации рациональных кривых, их геометрические свойства и связь с диофантовыми уравнениями. Подробно исследуются вопросы бирациональной эквивалентности и классификации рациональных кривых. Центральное место в книге занимают эллиптические кривые – объекты, обладающие богатой алгебраической и арифметической структурой. Авторы представляют эллиптические кривые как алгебраические кривые рода 1, заданные уравнением Вейерштрасса. Они подробно изучают групповой закон на эллиптической кривой, который делает множество ее точек абелевой группой. Рассматриваются различные способы вычисления групповой операции и ее геометрическая интерпретация. Книга охватывает широкий спектр тем, связанных с эллиптическими кривыми, включая: Теорема Морделла-Вейля: Фундаментальный результат, утверждающий, что группа рациональных точек эллиптической кривой над полем рациональных чисел конечно порождена. Авторы приводят доказательство этой теоремы и обсуждают ее следствия. Кручение эллиптических кривых: Изучение подгруппы кручения в группе рациональных точек эллиптической кривой. Рассматриваются различные результаты о структуре группы кручения и ее связи с арифметическими свойствами кривой. Высоты на эллиптических кривых: Введение понятия высоты, которая позволяет измерять сложность рациональных точек эллиптической кривой. Высоты играют важную роль в доказательстве теоремы Морделла-Вейля и в других задачах теории чисел. Комплексное умножение: Изучение эллиптических кривых, обладающих дополнительными эндоморфизмами. Кривые с комплексным умножением играют важную роль в теории полей классов и других областях теории чисел. Эллиптические кривые над конечными полями: Рассмотрение эллиптических кривых, определенных над конечными полями. Изучение числа точек на эллиптической кривой над конечным полем и его связи с дзета-функцией кривой. Книга содержит большое количество примеров и упражнений, которые помогают читателю закрепить полученные знания и развить навыки решения задач. Многие упражнения представляют собой небольшие исследовательские проекты, требующие применения теоретических знаний для решения конкретных задач. Особенностью книги является ее акцент на связь между алгебраической геометрией и теорией чисел. Авторы постоянно подчеркивают, как геометрические методы могут быть использованы для решения арифметических задач, и наоборот. Книга демонстрирует мощь и красоту этой взаимосвязи на примере изучения рациональных и эллиптических кривых. Книга «Алгебраическая геометрия и теория чисел - рациональные и эллиптические кривые» является ценным ресурсом для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся алгебраической геометрией и теорией чисел. Она предоставляет глубокое и всестороннее введение в эту захватывающую область математики и открывает путь к дальнейшим исследованиям. На сайте есть и другие пдф книги с учебниками, которые можно читать и скачать бесплатно.